Родился 1 января 1904 года в городе Тифлисе (ныне Тбилиси – столица Грузии). Окончил начальную школу. Работал на лесопильных заводах.
В Красной Армии с марта 1918 года, доброволец. Участник Гражданской войны. Красноармеец 450-го Северо-Кубанского полка 3-й Таманской бригады Таманской армии. Участник знаменитого похода Таманской армии, описанного в романе А. Серафимовича "Железный поток". Затем воевал на Южном фронте.
...
Участник боёв с японскими милитаристами на реке Халхин-Гол (Монголия) с 11 мая по 16 сентября 1939 года.
Командир 1-го танкового батальона 6-й легкой танковой бригады (1-я армейская группа) капитан Василий Копцов 25 августа 1939 года в течение 8 часов находился в подбитом танке в тылу врага, огнём отбиваясь от наседавших японских солдат. Отважный офицер-танкист сохранил весь экипаж и танк до подхода своей части.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 ноября 1939 года за мужество и героизм, проявленные при выполнении воинского и интернационального долга капитану Копцову Василию Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 175).
С июня 1940 года командовал батальоном в 8-й Краснознамённой легкотанковой бригады Забайкальского военного округа, в ноябре 1940 года назначен командиром этой бригады. С марта 1941 года он заместитель командира, а с 23 июня 1941 года - командир 46-й танковой дивизии 21-го механизированного корпуса в Московском военном округе.
Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Дивизия в составе корпуса была переброшена на Северо-Западный фронт и 25 июня вступила в бой под Даугавпилсом, затем с боями отступала на Псковском направлении. В оборонительных боях в Прибалтике был ранен, но остался в строю.
В сентябре 1941 года 46-я танковая дивизия генерал-майора танковых войск Копцова В.А. переформирована в 6-ю танковую бригаду и переброшена в состав 7-й отдельной армии. Участвовал в боях против финских войск на перешейке между Ладожским и Онежским озёрами. В ноябре - декабре 1941 года участвовал в Тихвинской оборонительной и Тихвинской наступательной операциях. В последней из них его бригада уничтожила до 1500 солдат врага, 8 танков, 6 бронемашин, 11 орудий и много другой боевой техники. Там был ранен ещё раз.
За успешные действия в боях бригада 16 февраля 1942 года преобразована в 7-ю гвардейскую танковую бригаду.
21 мая 1942 года В.А. Копцов назначен командиром 15-го танкового корпуса (3-я танковая армия, Воронежский фронт). В августе 1942 года участвовал в контрударе по немецким войскам под Козельском. С января 1943 года корпус действовал на Воронежском фронте, успешно наступал в Острогожско-Россошанской операции. Совместно с 12-м танковым корпусом танкисты генерала Копцова прорвали немецкую оборону, и через трое суток замкнули кольцо окружения, соединившись у города Алексеевка с войсками 40-й армии.
3 апреля 1943 года в ходе Харьковской оборонительной операции корпус попал в окружение. При прорыве из вражеского кольца генерал-майор танковых войск Копцов В.А. был тяжело ранен и через несколько часов скончался от ран и потери крови при эвакуации.
Похоронен в посёлке городского типа Первомайский Харьковской области Украины.